بودكاست التاريخ

كم عدد أرقام Pi التي عرفها المصريون القدامى؟

كم عدد أرقام Pi التي عرفها المصريون القدامى؟

من "Rhind Papyrus" من 1600 قبل الميلاد ، نعلم أن المصريين كان لديهم تقدير لـ pi ، أي 3.16 ، مما يعني أنهم يعرفون فقط رقمين من pi. وفقًا لهذه المقالة ، كانوا يعرفون المزيد من الأرقام ، على الأقل 4 أرقام من pi. حوالي 200 قبل الميلاد قدر أرخميدس pi إلى 22/7 وهو 3 أرقام من pi. يشير هذا إلى أن المصريين كانوا يعرفون أكثر من 2000 سنة قبل أرخميدس ، ومع ذلك ، ليس من الواضح بالنسبة لي عدد الأرقام التي كانوا يعرفونها بالفعل.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


لم يكن لدى المصريين القدماء في وقت بردية Rhind حقًا مفهوم Pi. كانت الطريقة التي وصفوها لإيجاد مساحة الدائرة هي كتابتها داخل مربع ، وتطبيق النسبة 64/81 على المساحة داخل المربع. ومع ذلك ، فإننا نعلم اليوم أن هذا مكافئ رياضيًا لاستخدام Pi في 256/81. هذا شعر أصغر من 3.1605 ، والذي يرقى في صفحة المخطط الزمني لـ Wikipedia إلى أن يكون صحيحًا في منزلة عشرية واحدة.

كان لدى البابليين والهنود القدماء في نفس الوقت تقريبًا استدلالاتهم الخاصة والتي عملت على Pi من 3 + 1/8 و 25/8 على التوالي ، أو 3.125 (بالضبط). كان هذا أقرب قليلاً ، ولكنه دقيق أيضًا لمنزل عشري واحد فقط. لا يُعرف عن أي شخص آخر أنه وضع تقديرًا أفضل بكثير على نطاق واسع حتى بعد منزلين عشريين لأرخميدس بعد ما يقرب من 2000 عام.

تقدم الورقة التي ربطتها العديد من التكهنات والاستقراء منها. لا أريد أن أعطي للرجل اهتمامًا قصيرًا: إنها بعض التكهنات الرائعة. أجد فكرة أن بناة الأهرام يتدحرجون حول عجلة دوارة لرسم الزوايا الأربع بشكل خاص. لكن هذه الورقة في أساسها مجرد الكثير من التكهنات الشخصية والمتعة في الرياضيات ، والتي تم إنشاؤها حول جوهر الحقائق التاريخية والرياضية. من الممكن بالطبع أن تكون كذلك استخدام Pi دون معرفة ذلك ؛ هذا هو بالضبط ما كان سيفعله مستخدمو دولاب التدحرج.

كان هناك عالم مصريات جادل في وقت مبكر من عام 1940 أن المصريين كانوا يستخدمون أيضًا 22/7 ، ولكن لا يبدو أن هذه الحجة مقبولة على نطاق واسع اليوم. لست متأكدًا من مدى تطابق حججه مع الورقة التي ربطتها.


الرقم الأخير من Pi

[هذه نسخة تقريبية من حديثي في ​​TEDxNYED ، الذي تم تسليمه في 6 مارس 2010 ، في مدينة نيويورك في مدرسة Collegiate. كان TEDxNYED مؤتمرًا طوال اليوم & # 8220 يدرس دور وسائل الإعلام الجديدة والتكنولوجيا في تشكيل مستقبل التعليم. & # 8221 للحصول على مشاركة تعريفية حول تجربة إلقاء محادثة TED (x) ، يرجى قراءة & # 8220Academic Theatre (تأملات في TED & amp TEDxNYED). & # 8221 ما قلته بالفعل وفعلته في TEDxNYED انحرف عن هذا النص ، لقد أشركت الجمهور مباشرة عدة مرات ، مرة للمتعة ومرة ​​للحصول على أفكارهم حول هذا الموضوع. & # 8217ll نشر الفيديو عندما يكون & # 8217s متاحًا.]

أريد أن أخبركم قصة عن عالم منسي للتعليم والمعرفة. إنها حكاية تحذيرية ، مثل ما يحدث عندما يتغير العالم ، عندما يتم تحدي التقاليد.

حتى وقت قريب نسبيًا في تاريخ البشرية ، كان pi هو الحل المطلوب كثيرًا لما كان يُطلق عليه لفترة طويلة "تصحيح" أو "تربيع" الدائرة ، وهي كلمات خيالية يمكن ترميزها بسهولة من خلال الرسم التخطيطي في هذه الشريحة. كيف يمكنك تحويل تلك الدائرة إلى مربع متراكب؟ سيكون أحد جوانب المربع ربع pi إذا كان قطر الدائرة 1.

كان Pi رقمًا مرغوبًا منذ آلاف السنين ، مشبعًا بخصائص سحرية. تابعت أجيال من العلماء ذلك بإصرار ، معتبرين أنه في كثير من الأحيان يكون كل شيء ونهاية كل الهندسة.

هذا pi-pi مختلف كما نعرفه نحن الحديثون:

حسنًا ، ليس كل ذلك ، وأنا متأكد من أنك تعلم. إنها فقط أول 200 رقم أو نحو ذلك. الرقم يمتد إلى الأبد. آمل ألا تتوقع مني الكشف عن الرقم الأخير الفعلي من pi. لأنه لا يوجد واحد. غريب أليس كذلك؟

لم يكن Pi غريبًا دائمًا. كان قدماء المصريين يعرفون بشكل أفضل ، حيث ربطوا نسبة المحيط إلى قطر الدائرة عند 4 على 3 إلى القوة الرابعة. هذا أكثر تحديدًا إلى حد كبير ، وبالتالي أكثر منطقية.

كان أرخميدس على دراية أفضل ، حيث كان يدرك قيمة باي بين كسرين متقاربين جدًا.

إذا كنت حرفيًا في الكتاب المقدس ، فقد يبدو أن pi تساوي 3 ، لأن الكتاب المقدس يصف بوضوح 30 ذراعًا على أنها تشمل دائرة بقطر 10 أذرع.

واستمرت الحلول في الظهور. من علماء الرياضيات والفلاسفة القدماء ، إلى علماء العصور الوسطى ، إلى عصر النهضة والتنوير. بدا كل شخص قادرًا على إيجاد القيمة الدقيقة لـ pi - بجهد كافٍ. كان تربيع الدائرة جهدًا عبقريًا في علم قديم وصفه إقليدس جيدًا منذ قرون.

لكن شيئًا ما تغير بشكل جذري في القرن الثامن عشر ، بعد ذلك الكتاب مباشرة على اليمين لجوبير دي لا رو. بدأ عدد قليل من علماء الرياضيات في التعامل بجدية أكبر مع الشعور المزعج بأن باي ليس لديه حل مثالي ككسر سحري. قد لا يحتوي على رقم أخير بعد كل شيء. قد يكون هذا الرقم الحرج في مركز الرياضيات ، في الواقع ، غير منطقي. بدأ عالم رياضيات في إعادة تصور باي.

وها هو: عالم الرياضيات السويسري الألماني الأنيق يوهان هاينريش لامبرت:

من الواضح أنه كان ابن خياط ، وكان في الغالب يدرس نفسه في الرياضيات. أظهر عمله الرائع في ستينيات القرن الثامن عشر أن π / 4 لا يمكن أن يكون عددًا منطقيًا - لا يمكنك أبدًا معرفة قيمة جانب واحد من هذا المربع - وبالتالي فإن هذا pi أيضًا كان غير منطقي. بعد لامبرت ، أعلنت كتب الرياضيات أن الأمر قد تم حله.

هذا صحيح ، تم حل المشكلة & # 8230

باستثناء & # 8230.Circle-squaring استمر. لقد تغير عالم الرياضيات مع اكتشافات القرن الثامن عشر ولكن بطريقة ما لم تصل الرسالة إلى كثير من الناس. جون باركر ، على اليسار ، توصل إلى الحل المفضل لدي شخصيًا: باي هو بالضبط 20612/6561. بعض المربعات الدائرية ، مثل جيمس سميث على اليمين ، سخروا من برهان لامبرت و # 8217s على أنه عمل دارس.

ثم توترت الأمور بين علماء الرياضيات الجدد وأولئك الذين تشبثوا بالرؤية السابقة لـ pi. سجل هذه الحرب غني بالمعلومات بقدر ما هو مضحك. في الستينيات والسبعينيات من القرن التاسع عشر ، تولى جيمس سميث دور أوغسطس دي مورغان ، أستاذ الرياضيات في لندن ، في سلسلة من الكتيبات القصيرة ، والتي كانت المكافئ الفيكتوري لتويتر.

لكن مما لا يثير الدهشة ، أن انتقادات أساتذة الرياضيات لم توقف تربيع الدوائر. استمرت حلولهم في الظهور ، حتى في مواجهة النقد ، حتى بعد أن ثبت أن pi متسامٍ ، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون أصلًا لرقم أو معادلة أخرى. كتابي المفضل من مطلع القرن العشرين كان يحتوي على هذا العنوان الفرعي على الغلاف: & # 8220 المشكلة الكبرى التي حيرت أعظم الفلاسفة وألمع العقول في العصور القديمة والحديثة تم حلها الآن من قبل مواطن أمريكي متواضع من مدينة بروكلين & # 8221

الآن ، من السهل أن تضحك على مربعات الدوائر المضللة ، خاصة عندما يكونون من بروكلين. لكن إذا قرأت مربعات الدوائر بجدية ، وتوقفت عن التفكير في الأمر ، فهي لا تختلف كثيرًا عنك أو عني. حتى في أوقاتنا المعرفية ، نواصل جميعًا القيام بأشياء تخلى عنها الآخرون منذ فترة طويلة باعتبارها سخيفة أو وفاقة.

يخبرنا التاريخ أن الناس ، للأسف ، ليسوا جيدين جدًا في رؤية الجديد ، وبدلاً من ذلك يجيدون الحفاظ على الماضي بأي ثمن. هذا صحيح بشكل خاص في التعليم: إقليدس عناصر، الذي كتب منذ أكثر من 2000 عام ، كان لا يزال كتابًا قياسيًا في الرياضيات حتى القرن التاسع عشر ، على الرغم من التقدم الرياضي الكبير.

لذا من المفيد التوقف للتفكير في الرقم الأخير من pi. لماذا استمر الكثير في متابعة الرياضيات كما تم تصوره تقليديًا ، ولماذا قاوموا الرياضيات الجديدة؟

فكر للحظة في التمييز بين pi القديم والجديد. كان القديم مثاليًا ، بسيطًا ، منظمًا ، إلهيًا الجديد ، غير دقيق على ما يبدو ، مبتذل ، فوضوي ، إنسان. لذا فإن قصة باي هي القصة ، وعلم النفس ، لما يحدث عندما يحاول المعقد والجديد تجاوز البسيط والتقليدي.

إنه يحدث في كل مكان حولنا في العصر الرقمي. نحن نستبدل ما كان يُنظر إليه على أنه مثالي ومرتّب بما يبدو غير دقيق وفوضوي.

انظر إلى ما حدث ، على سبيل المثال ، في العقد الماضي مع ويكيبيديا والقلق بشأن مصير الموسوعة التقليدية.

أو الصحف في مواجهة أشكال جديدة من الصحافة مثل التدوين. هل يمكن للإحصائي السابق في لعبة البيسبول ، نيت سيلفر من موقع FiveThirtyEight.com ، أن يقرر بوقاحة تحليل الانتخابات والاقتصاد بشكل أفضل من معظم الصحف؟ نعم فعلا.

الآن قد يرغب هذا الجمهور ، على الجانب الأيمن من هذه الشاشات ، في أن يكون مثل Augustus De Morgan لأولئك الذين ما زالوا على اليسار. قد نرغب في ترك المربعات الدائرية الحديثة وراءنا ، وبلا شك سيترك بعضها وراءنا. لكن بالنسبة للأغلبية غير المستقرة والمحاصرة بين القديم والجديد ، نحتاج إلى طرق أخرى لإقناعهم وتغيير الوضع الراهن. يخبرنا التاريخ أنه لا يكفي القول إن الناس عمياء عن المستقبل. علينا أن نبين بدقة ما هي نقاط الضعف القديمة & # 8230

& # 8230 وعلينا أن نظهر كيف يعمل الجديد بشكل أفضل من القديم.

إن معرفة pi بشكل صحيح حتى الرقم العاشر مفيد للغاية عند التنبؤ الدقيق بحركات الأجرام السماوية. حاول استخدام جيمس سميث 3 1/8 عند تتبع قوس كوكب أو قمر. بالنسبة لبعض الفيزياء ، فإن معرفة pi بدقة حتى الرقم 40 أمر بالغ الأهمية.

علاوة على ذلك ، قد يكون هذا pi الحديث غريبًا ، لكن غرابته الشديدة فتحت آفاقًا جديدة للبحث والفكر التي كانت صعبة ومجزية فكريا مثل تربيع الدائرة. دفعت الطبيعة المتعالية لـ pi علماء الرياضيات إلى التفكير في التسلسل اللانهائي للكسور وكان لها تأثير على نظرية الفوضى. في علوم الكمبيوتر ، أدى التوصل إلى خوارزميات للوصول إلى مليار أو تريليون رقم من pi في أسرع وقت ممكن إلى تطوير هذا المجال. وإذا كنت لا تزال تريد حل مشكلة لم يتم حلها ، فحاول معرفة ما إذا كان pi هو ما يسمى "العدد العادي" ، حيث يكون توزيع الأرقام من 0 إلى 9 منتظمًا & # 8230

& # 8230 أو بدلا من ذلك هناك رجحان من ثمانية. الآن هذه مشكلة صعبة تتعلق بقضايا حقيقية في الرياضيات الحديثة. لذلك لا تزال هناك مشاكل يجب حلها ، مشاكل أكثر تقدمًا. لم تنته الرياضيات بنهاية الحلقة القديمة - بل انتقلت فقط في اتجاهات جديدة أكثر تشويقًا.

ولكن للوصول إلى هذه النقطة ، كان على علماء الرياضيات أن يُظهروا بطريقة مفهومة كيف أن pi الجديد خلق نظامًا جديدًا.


محتويات

كانت التقديرات التقريبية الأكثر شهرة لـ π التي يرجع تاريخها إلى ما قبل العصر المشترك دقيقة إلى منزلتين عشريتين تم تحسين ذلك في الرياضيات الصينية على وجه الخصوص بحلول منتصف الألفية الأولى ، إلى دقة سبع منازل عشرية. بعد ذلك ، لم يتم إحراز أي تقدم حتى أواخر العصور الوسطى.

زعم بعض علماء المصريات [4] أن قدماء المصريين استخدموا تقريب π كـ 22 7 = 3.142857 (حوالي 0.04٪ عالية جدًا) منذ عصر الدولة القديمة. [5] وقد قوبل هذا الادعاء بالتشكيك. [6] [7]

بحلول القرن الخامس الميلادي ، كانت π معروفة بحوالي سبعة أرقام في الرياضيات الصينية ، وحوالي خمسة أرقام في الرياضيات الهندية. لم يتم إحراز مزيد من التقدم لما يقرب من ألف عام ، حتى القرن الرابع عشر ، عندما اكتشف عالم الرياضيات والفلك الهندي Madhava of Sangamagrama ، مؤسس مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات ، السلسلة اللانهائية لـ π ، والمعروفة الآن بسلسلة Madhava-Leibniz ، [21] [22] وقدم طريقتين لحساب قيمة π. تتمثل إحدى هذه الطرق في الحصول على سلسلة متقاربة بسرعة عن طريق تحويل السلسلة اللانهائية الأصلية من π. من خلال القيام بذلك ، حصل على السلسلة اللانهائية

واستخدمت أول 21 مصطلحًا لحساب تقريب لأقرب 11 منزلة عشرية كـ 3.141 592 653 59.

كانت الطريقة الأخرى التي استخدمها هي إضافة مصطلح متبقي إلى سلسلة π الأصلية. استخدم المصطلح الباقي

جمشيد الكاشي (كاشاني) ، عالم الفلك والرياضيات الفارسي ، قام بحساب 2 إلى 9 أرقام ستينية بشكل صحيح في عام 1424. [23] هذا الرقم يعادل 17 رقمًا عشريًا مثل

لقد حقق هذا المستوى من الدقة بحساب محيط مضلع منتظم 3 × 2 28 جانبًا. [24]

في النصف الثاني من القرن السادس عشر ، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت منتجًا لانهائيًا تلاقت مع صيغة π المعروفة باسم صيغة Viète.

عالم الرياضيات الألماني الهولندي لودولف فان سيولين (حوالي 1600) أول 35 منزلاً عشريًا لـ π مع 2 62 -gon. كان فخورًا جدًا بهذا الإنجاز لدرجة أنه جعلها منقوشة على شاهد قبره. [25]

في سيكلومتريكس (1621) ، أوضح Willebrord Snellius أن محيط المضلع المنقوش يتقارب على المحيط أسرع بمرتين من محيط المضلع المقيد المقابل. تم إثبات ذلك من قبل كريستيان هيغنز في عام 1654. كان Snellius قادرًا على الحصول على سبعة أرقام من π من مضلع مكون من 96 جانبًا. [26]

في عام 1789 ، قام عالم الرياضيات السلوفيني يوريج فيجا بحساب أول 140 منزلاً عشريًا لـ π ، والتي كانت أول 126 منزلةً صحيحةً [27] واحتفظت بالرقم القياسي العالمي لمدة 52 عامًا حتى عام 1841 ، عندما قام ويليام رذرفورد بحساب 208 منازل عشرية ، منها أول 152 كانت صحيحة. قام Vega بتحسين صيغة John Machin من عام 1706 وما زالت طريقته مذكورة حتى اليوم. [ بحاجة لمصدر ]

يمكن وضع حجم هذه الدقة (152 منزلة عشرية) في السياق من خلال حقيقة أن محيط أكبر جسم معروف ، وهو الكون المرئي ، يمكن حسابه من قطره (93 مليار سنة ضوئية) إلى دقة أقل من طول بلانك واحد (عند 1.6162 × 10 35 مترًا ، وهي أقصر وحدة طول لها معنى حقيقي) باستخدام π معبراً عنها بـ 62 منزلاً عشريًا فقط. [28]

عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام شانكس ، وهو رجل ذو وسائل مستقلة ، أمضى أكثر من 15 عامًا في حساب π إلى 607 منازل عشرية. تم تحقيق ذلك في عام 1873 ، مع تصحيح أول 527 مكانًا. [29] كان يحسب الأرقام الجديدة طوال الصباح ثم يقضي كل فترة بعد الظهر في فحص عمله الصباحي. كان هذا أطول توسع لـ π حتى ظهور الكمبيوتر الرقمي الإلكتروني بعد ثلاثة أرباع قرن. [ بحاجة لمصدر ]

في عام 1910 ، وجد عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان عدة سلاسل لا نهائية متقاربة بسرعة من π ، بما في ذلك

الذي يحسب ثمانية منازل عشرية أخرى من مع كل حد في السلسلة. سلسلته هي الآن أساس أسرع الخوارزميات المستخدمة حاليًا لحساب. انظر أيضًا سلسلة Ramanujan – Sato.

من منتصف القرن العشرين فصاعدًا ، تم إجراء جميع حسابات π بمساعدة الآلات الحاسبة أو أجهزة الكمبيوتر.

في عام 1944 ، وجد د.فرجسون ، بمساعدة آلة حاسبة مكتبية ميكانيكية ، أن ويليام شانكس قد ارتكب خطأ في الخانة العشرية 528 ، وأن جميع الأرقام التالية كانت غير صحيحة.

في السنوات الأولى للكمبيوتر ، تم حساب توسعة π إلى 100000 منزلة عشرية [30]: 78 بواسطة عالم الرياضيات من ولاية ماريلاند دانييل شانكس (لا علاقة له بـ William Shanks المذكور أعلاه) وفريقه في مختبر أبحاث البحرية الأمريكية في واشنطن العاصمة في عام 1961 ، استخدم شانكس وفريقه سلسلتين مختلفتين للطاقة لحساب أرقام π. أولاً ، كان من المعروف أن أي خطأ سينتج عنه قيمة عالية قليلاً ، وبالنسبة للآخر ، كان من المعروف أن أي خطأ سينتج عنه قيمة منخفضة قليلاً. وبالتالي ، طالما أن السلسلتين تنتجان نفس الأرقام ، فهناك ثقة كبيرة في أنها صحيحة. تم نشر أول 100265 رقمًا من في عام 1962. [30]: 80-99 أوضح المؤلفون ما هو مطلوب لحساب إلى مليون منزلة عشرية وخلصوا إلى أن المهمة كانت تتجاوز تكنولوجيا ذلك اليوم ، ولكنها ستكون ممكنة في خمسة سبع سنوات. [30]: 78

في عام 1989 ، قام الأخوان Chudnovsky بحساب π لأكثر من 1 مليار منزل عشري على الكمبيوتر العملاق IBM 3090 باستخدام الاختلاف التالي لسلسلة Ramanujan اللانهائية π:

تم إنجاز جميع السجلات منذ ذلك الحين باستخدام خوارزمية Chudnovsky. في عام 1999 ، قام Yasumasa Kanada وفريقه في جامعة طوكيو بحساب π لأكثر من 200 مليار منزلة عشرية على الكمبيوتر العملاق HITACHI SR8000 / MPP (128 عقدة) باستخدام نوع آخر من سلسلة Ramanujan اللانهائية من π. في نوفمبر 2002 ، استخدم Yasumasa Kanada وفريق من 9 آخرين جهاز Hitachi SR8000 ، وهو كمبيوتر عملاق مكون من 64 عقدة مع 1 تيرابايت من الذاكرة الرئيسية ، لحساب π إلى ما يقرب من 1.24 تريليون رقم في حوالي 600 ساعة (25 يومًا). في أكتوبر 2005 ، زعموا أنهم حسبوه إلى 1.24 تريليون مكان. [31]

في أغسطس 2009 ، قام كمبيوتر عملاق ياباني يسمى T2K Open Supercomputer بمضاعفة الرقم القياسي السابق بأكثر من الضعف بحساب π إلى ما يقرب من 2.6 تريليون رقم في حوالي 73 ساعة و 36 دقيقة.

في ديسمبر 2009 ، استخدم فابريس بيلارد جهاز كمبيوتر منزلي لحساب 2.7 تريليون رقم عشري من π. تم إجراء الحسابات في الأساس 2 (ثنائي) ، ثم تم تحويل النتيجة إلى الأساس 10 (عشري). استغرقت خطوات الحساب والتحويل والتحقق إجمالي 131 يومًا. [32]

في أغسطس 2010 ، استخدم Shigeru Kondo أداة y-cruncher الخاصة بـ Alexander Yee لحساب 5 تريليون رقم من π. كان هذا هو الرقم القياسي العالمي لأي نوع من الحسابات ، ولكن بشكل ملحوظ تم إجراؤه على جهاز كمبيوتر منزلي تم إنشاؤه بواسطة Kondo. [33] تم الحساب بين 4 مايو و 3 أغسطس ، حيث استغرق التحقق الابتدائي والثانوي 64 و 66 ساعة على التوالي. [34]

في أكتوبر 2011 ، حطم Shigeru Kondo رقمه القياسي بحساب عشرة تريليونات (10 13) وخمسين رقمًا باستخدام نفس الطريقة ولكن مع أجهزة أفضل. [35] [36]

في ديسمبر 2013 ، حطم كوندو رقمه القياسي للمرة الثانية عندما قام بحساب 12.1 تريليون رقم π. [37]

في أكتوبر 2014 ، استخدم Sandon Van Ness الاسم المستعار "houkouonchi" y-cruncher لحساب 13.3 تريليون رقم π. [38]

في نوفمبر 2016 ، تم حساب Peter Trueb ورعاته على y-cruncher وتحققوا بالكامل من 22.4 تريليون رقم من π (22،459،157،718،361 (π e × 10 12)). [39] استغرقت عملية الحساب (مع ثلاث فترات انقطاع) 105 أيام لإكمالها ، [38] وكان الحد من التوسع الإضافي هو مساحة التخزين في المقام الأول. [37]

في مارس 2019 ، قامت Emma Haruka Iwao ، موظفة في Google ، بحساب 31.4 تريليون رقم من pi باستخدام أجهزة y-cruncher و Google Cloud. استغرق هذا 121 يومًا ليكتمل. [40]

في يناير 2020 ، أعلن تيموثي موليكان عن حساب 50 تريليون رقم على مدار 303 يومًا. [41] [42]

من بعض النصوص الملحوظة هناك نصوص قانونية أو تاريخية يُزعم أنها "تحدد π" لتكون لها قيمة عقلانية ، مثل "Indiana Pi Bill" لعام 1897 ، والتي نصت على أن "نسبة القطر والمحيط هي خمسة أرباع إلى أربعة" (أي من شأنه أن يعني " π = 3.2 ") ومقطع في الكتاب المقدس العبري يشير إلى ذلك π = 3 .

تحرير فاتورة إنديانا

غالبًا ما تم وصف ما يسمى ب "Indiana Pi Bill" لعام 1897 على أنه محاولة "لتشريع قيمة Pi". وبدلاً من ذلك ، تناول مشروع القانون حلاً مزعومًا لمشكلة "تربيع الدائرة" هندسيًا. [46]

القيمة الكتابية المزعومة تحرير

يُزعم أحيانًا أن الكتاب المقدس العبري يشير إلى أن "π تساوي ثلاثة" ، استنادًا إلى مقطع في 1 ملوك 7:23 و 2 أخبار الأيام 4: 2 يعطي قياسات للحوض الدائري الواقع أمام الهيكل في القدس على أنه قطر 10 اذرع ومحيطه 30 ذراعا.

نوقشت القضية في التلمود والأدب الرباني. [47] من بين العديد من التفسيرات والتعليقات ما يلي:

    وأوضح هذا في كتابه مشنات همدوت (أقدم نص عبري معروف في الهندسة ، حوالي 150 م) بالقول إنه تم قياس القطر من في الخارج حافة بينما تم قياس المحيط على طول داخلي حافة. يشير هذا التفسير إلى حافة حوالي 0.225 ذراعًا (أو ، بافتراض 18 بوصة "ذراع" ، حوالي 4 بوصات) ، أو سمك واحد وثلث من "خيوط اليد" (راجع NKJV و NKJV). تنص (حوالي 1168 م) على أنه لا يمكن معرفة إلا تقريبًا ، لذلك تم إعطاء القيمة 3 على أنها دقيقة بما يكفي للأغراض الدينية. يعتبر هذا من قبل بعض [48] أول تأكيد على أن π غير منطقي.
  • تفسير حاخامي آخر [بواسطة من؟] [العام المطلوب] يتضرع gematria: في NKJV كلمة تترجم "قياس خط" يظهر في النص العبري مكتوبة كاوه קַוה، ولكن في مكان آخر كلمة هو الأكثر عادة مكتوبة KAV קַו. نسبة القيم العددية لهذه التهجئات العبرية هي
  • 111 106. إذا تم ضرب القيمة المفترضة لـ 3 في هذه النسبة ، يحصل المرء على
  • 333 ⁄ 106 = 3.141509433. - إعطاء 4 أرقام عشرية صحيحة ، في الداخل
  • 1 ⁄ 10000 من القيمة الحقيقية لـ π.

لا يزال هناك بعض الجدل حول هذا المقطع في الدراسات الكتابية. [ فشل التحقق ] [49] [50] تظهر العديد من عمليات إعادة بناء الحوض حافة أوسع (أو شفة متوهجة) تمتد إلى الخارج من الوعاء نفسه بعدة بوصات لتتناسب مع الوصف الوارد في NKJV [51] في الآيات التالية ، توصف الحافة بأنها "اتساع اليد كان سميكًا وحافته مصنوعة مثل حافة كوب ، مثل زهرة زنبق: استقبلت وحمل ثلاثة آلاف حمام" NKJV ، مما يشير إلى شكل يمكن أن يحيط بخيط أقصر من الطول الإجمالي من الحافة ، على سبيل المثال ، زهرة زنبق أو فنجان شاي.

تقريب المضلع لدائرة تحرير

أرخميدس ، في بلده قياس الدائرة، أنشأ الخوارزمية الأولى لحساب π بناءً على فكرة أن محيط أي مضلع (محدب) مدرج في دائرة أقل من محيط الدائرة ، والتي بدورها أقل من محيط أي مضلع محدد . بدأ بأشكال سداسية منتظمة منقوشة ومحددة ، يتم تحديد محيطها بسهولة. ثم يوضح كيفية حساب محيطات المضلعات المنتظمة لضعف عدد الأضلاع المنقوشة والمحاصرة حول نفس الدائرة. هذا إجراء تكراري يمكن وصفه اليوم على النحو التالي: Let صك و صك تشير إلى محيطات المضلعات المنتظمة لـ ك الجوانب التي تم نقشها ومحاصرة حول نفس الدائرة ، على التوالي. ثم،

يستخدم أرخميدس هذا للحساب على التوالي ص12, ص12, ص24, ص24, ص48, ص48, ص96 و ص96 . [52] باستخدام هذه القيم الأخيرة التي حصل عليها

من غير المعروف سبب توقف أرخميدس عند مضلع مكون من 96 جانبًا ، ولا يتطلب الأمر سوى الصبر لتوسيع الحسابات. تقارير مالك الحزين في بلده متريكا (حوالي 60 م) أن أرخميدس واصل الحساب في كتاب مفقود الآن ، لكنه بعد ذلك ينسب إليه قيمة غير صحيحة. [53]

لا يستخدم أرخميدس علم المثلثات في هذا الحساب وتكمن صعوبة تطبيق الطريقة في الحصول على تقديرات تقريبية جيدة للجذور التربيعية المعنية. ربما استخدم كلوديوس بطليموس من الإسكندرية علم المثلثات ، في شكل جدول أطوال وتر في دائرة ، للحصول على قيمة π الواردة في المجسطى (حوالي 150 م). [54]

تم إحراز تقدم في تقريب (عندما تكون الطرق معروفة) عن طريق زيادة عدد جوانب المضلعات المستخدمة في الحساب. حصل التحسين المثلثي بواسطة Willebrord Snell (1621) على حدود أفضل من زوج من الحدود تم الحصول عليه من طريقة المضلع. وبالتالي ، تم الحصول على نتائج أكثر دقة من مضلعات ذات جوانب أقل. [55] تم اشتقاق صيغة فييت ، التي نشرها فرانسوا فييت عام 1593 ، من قبل فييت باستخدام طريقة متعددة الأضلاع وثيقة الصلة ، ولكن مع مناطق بدلاً من محيطات المضلعات التي يكون عدد أضلاعها قوى لاثنين. [56]

تم تنفيذ آخر محاولة كبيرة لحساب π بهذه الطريقة بواسطة Grienberger في عام 1630 الذي قام بحساب 39 منزلاً عشريًا لـ π باستخدام تنقيح Snell. [55]

صيغة تشبه ماشين تحرير

لإجراء حسابات سريعة ، يمكن استخدام صيغ مثل ماشين:

مع توسع سلسلة تايلور لوظيفة arctan (x). يتم التحقق من هذه الصيغة بسهولة باستخدام الإحداثيات القطبية للأرقام المركبة ، مما ينتج عنه:

( = <239، 13 2> هو حل لمعادلة Pell x 2 −2 y 2 = 1.)

تُعرف الصيغ من هذا النوع باسم صيغ تشبه ماشين. تم استخدام صيغة ماشين الخاصة بشكل جيد في عصر الكمبيوتر لحساب الأرقام القياسية للأرقام π ، [30] ولكن تم مؤخرًا استخدام صيغ أخرى مماثلة أيضًا.

على سبيل المثال ، استخدم Shanks وفريقه الصيغة التالية الشبيهة بـ Machin في عام 1961 لحساب أول 100000 رقم من π: [30]

واستخدموا صيغة أخرى شبيهة بماشين ،

سجل ياسوماسا كانادا من جامعة طوكيو اعتبارًا من ديسمبر 2002 عند 1،241،100،000،000 رقم. تم استخدام الصيغ التالية التي تشبه ماشين لهذا الغرض:

الصيغ الكلاسيكية الأخرى تحرير

تشمل الصيغ الأخرى التي تم استخدامها لحساب تقديرات π ما يلي:

تحول تقارب نيوتن / أويلر: [57]

أين (2ك + 1) !! يشير إلى منتج الأعداد الصحيحة الفردية حتى 2ك + 1.

عمل Ramanujan هو أساس خوارزمية Chudnovsky ، أسرع الخوارزميات المستخدمة ، اعتبارًا من مطلع الألفية ، لحساب π.

تحرير الخوارزميات الحديثة

عادةً ما يتم حساب التوسعات العشرية الطويلة للغاية لـ بصيغ تكرارية مثل خوارزمية Gauss-Legendre وخوارزمية Borwein. الأخير ، الذي وجده جوناثان وبيتر بوروين عام 1985 ، يتقارب بسرعة كبيرة:

yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk))، ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4 - 2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) = (1-و (ص_)) / (1 + f (y_))

حيث f (y) = (1 - y 4) 1/4 ) ^ <1/4 >> ، التسلسل 1 / ak > تقارب رباعيًا إلى π ، لإعطاء حوالي 100 رقم في ثلاث خطوات وأكثر من تريليون رقم بعد 20 خطوة. ومع ذلك ، فمن المعروف أن استخدام خوارزمية مثل خوارزمية Chudnovsky (التي تتقارب خطيًا) أسرع من هذه الصيغ التكرارية.

تحتوي هذه التقريبات على عدد كبير جدًا من الأرقام لدرجة أنها لم تعد ذات فائدة عملية ، باستثناء اختبار أجهزة الكمبيوتر العملاقة الجديدة. [58] ستعتمد الخصائص مثل الحالة الطبيعية المحتملة لـ دائمًا على سلسلة لا نهائية من الأرقام في النهاية ، وليس على أي حساب محدود.

تقريبية متنوعة تحرير

تاريخيا ، تم استخدام الأساس 60 للحسابات. في هذه القاعدة ، يمكن تقريب إلى ثمانية أرقام معنوية (عشرية) بالرقم 38،29،4460، الذي

(الرقم الستيني التالي هو 0 ، مما يتسبب في الاقتطاع هنا للحصول على تقريب جيد نسبيًا.)

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام التعبيرات التالية لتقدير π:

  • دقيق لثلاثة أرقام:
  • دقيق لثلاثة أرقام:
  • دقيق لأربعة أرقام:
  • دقيقة لأربعة أرقام (أو خمسة أرقام معنوية):
  • تقريب بواسطة Ramanujan ، بدقة 4 أرقام (أو خمسة أرقام مهمة):
  • دقيق لخمسة أرقام:
  • دقيقة حتى ستة أرقام [2]:
  • دقيق لسبعة أرقام:
  • دقيقة حتى تسعة أرقام:
  • دقيقة حتى عشرة أرقام:
  • دقيقة حتى عشرة أرقام (أو أحد عشر رقمًا مهمًا):
  • دقيقة حتى 18 رقمًا:
  • دقيقة حتى 30 منزلة عشرية:
  • دقيقة حتى 52 منزلة عشرية:
  • دقيقة حتى 161 منزلًا عشريًا:
  • يمكن استخدام تمثيل الكسر المستمر لـ لتوليد أفضل التقريبات المنطقية المتتالية. هذه التقريبات هي أفضل تقريب منطقي ممكن لـ بالنسبة لحجم قواسمها. فيما يلي قائمة بأول ثلاثة عشر من هؤلاء: [64] [65]

تلخيص منطقة الدائرة تحرير

يمكن الحصول على Pi من دائرة إذا كان نصف قطرها ومساحتها معروفين باستخدام العلاقة:

إذا كانت دائرة نصف قطرها ص يتم رسمها بمركزها عند النقطة (0 ، 0) ، أي نقطة تكون بعدها عن نقطة الأصل أقل من ص سوف تقع داخل الدائرة. تعطي نظرية فيثاغورس المسافة من أي نقطة ( x , ذ ) للمركز:

تتشكل "ورقة الرسم البياني" الرياضية من خلال تخيل مربع 1 × 1 متمركز حول كل خلية ( x , ذ )، أين x و ذ هي أعداد صحيحة بين - r و r. يمكن بعد ذلك حساب المربعات التي يقع مركزها داخل الدائرة أو على حدودها بالضبط عن طريق اختبار ما إذا كان ، لكل خلية ( x , ذ ),

وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للخلايا التي تفي بهذا الشرط يقارب مساحة الدائرة ، والتي يمكن استخدامها بعد ذلك لحساب تقريب π. يمكن الحصول على تقديرات تقريبية باستخدام قيم أكبر لـ r.

رياضيا ، يمكن كتابة هذه الصيغة:

بمعنى آخر ، ابدأ باختيار قيمة لـ r. ضع في اعتبارك جميع الخلايا ( x , ذ ) في كلاهما x و ذ هي أعداد صحيحة بين - r و r. بدءًا من 0 ، أضف 1 لكل خلية تكون المسافة إلى الأصل (0،0) أقل من أو تساوي ص . عند الانتهاء ، اقسم المجموع ، الذي يمثل مساحة دائرة نصف قطرها r ، على r 2 لإيجاد تقريب. على سبيل المثال ، إذا كانت r هي 5 ، فإن الخلايا المعتبرة هي:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

ص منطقة تقريب π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

وبالمثل ، فإن التقريبات الأكثر تعقيدًا لـ الواردة أدناه تتضمن حسابات متكررة من نوع ما ، مما ينتج عنه تقريبات أقرب وأقرب مع زيادة عدد الحسابات.

تحرير الكسور المستمرة

إلى جانب تمثيل الكسر المستمر البسيط [3 7 ، 15 ، 1 ، 292 ، 1 ، 1 ،. ] ، التي لا تعرض أي نمط يمكن تمييزه ، π لديها العديد من تمثيلات الكسور المستمرة المعممة الناتجة عن قاعدة بسيطة ، بما في ذلك هذين الاثنين.

(التمثيلات الأخرى متوفرة في موقع وظائف ولفرام.)

تحرير علم المثلثات

تحرير سلسلة غريغوري - ليبنيز

هي سلسلة الطاقة لـ arctan (x) المتخصصة في x = 1. إنها تتقارب ببطء شديد لتكون ذات فائدة عملية. ومع ذلك ، تتقارب سلسلة القوة بشكل أسرع مع القيم الأصغر لـ x < displaystyle x> ، مما يؤدي إلى الصيغ حيث تنشأ π < displaystyle pi> كمجموع الزوايا الصغيرة ذات الظلال المنطقية ، والمعروفة بالصيغ الشبيهة بماشين.

تحرير Arctangent

مع العلم أن 4 arctan 1 = π ، يمكن تبسيط الصيغة للحصول على:

مع تقارب بحيث ينتج عن كل 10 شروط إضافية ثلاثة أرقام إضافية على الأقل.

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام سلسلة التوسع البسيطة التالية لوظيفة قوس ظل

تحرير Arcsine

مراقبة مثلث متساوي الأضلاع مع ملاحظة ذلك

مع تقارب بحيث ينتج عن كل خمسة فصول إضافية ثلاثة أرقام أخرى على الأقل.

تحرير خوارزمية Salamin – Brent

تم اكتشاف صيغة Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) لحساب π في عام 1995 بواسطة Simon Plouffe. باستخدام الرياضيات الأساسية 16 ، يمكن للمعادلة حساب أي رقم معين من - إرجاع القيمة السداسية العشرية للرقم - دون الحاجة إلى حساب الأرقام المتداخلة (استخراج الرقم). [68]

في عام 1996 ، اشتق Simon Plouffe خوارزمية لاستخراج الرقم العشري n من π (باستخدام رياضيات الأساس 10 لاستخراج رقم أساس 10) ، والتي يمكن أن تفعل ذلك بسرعة محسنة ا(ن 3 (سجل ن) 3 مرة. لا تتطلب الخوارزمية فعليًا أي ذاكرة لتخزين مصفوفة أو مصفوفة لذلك يمكن حساب الرقم المليون من π باستخدام آلة حاسبة للجيب. [69] ومع ذلك ، فإن القيام بذلك سيكون مملاً وغير عملي.

تم تحسين سرعة حساب صيغة Plouffe إلى ا(ن 2) بواسطة فابريس بيلارد ، الذي اشتق صيغة بديلة (وإن كان ذلك فقط في الرياضيات الأساسية 2) لحساب π. [70]

تم تطوير العديد من التعبيرات الأخرى لـ ونشرها عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان. عمل مع عالم الرياضيات جودفري هارولد هاردي في إنجلترا لعدد من السنوات.

عادةً ما يتم حساب التوسعات العشرية الطويلة للغاية لـ π باستخدام خوارزمية Gauss-Legendre وخوارزمية Borwein ، كما تم استخدام خوارزمية Salamin-Brent ، التي تم اختراعها في عام 1976.

في عام 1997 ، نشر David H. Bailey و Peter Borwein و Simon Plouffe ورقة بحثية (Bailey ، 1997) حول صيغة جديدة لـ π كسلسلة لانهائية:

تسمح هذه الصيغة للشخص بحساب بسهولة إلى حد ما كالرقم الثنائي أو الست عشري ، دون الحاجة إلى حساب ما يسبقه ك - رقم واحد. يحتوي موقع Bailey على الويب [71] على الاشتقاق والتطبيقات في لغات البرمجة المختلفة. قام مشروع PiHex بحساب 64 بت حول الربع المليون من π (والذي تبين أنه 0).

تشمل الصيغ الأخرى التي تم استخدامها لحساب تقديرات π ما يلي:

هذا يتقارب بسرعة غير عادية. عمل Ramanujan هو الأساس لأسرع الخوارزميات المستخدمة ، اعتبارًا من مطلع الألفية ، لحساب π.

في عام 1988 ، وجد David Chudnovsky و Gregory Chudnovsky سلسلة متقاربة بشكل أسرع (خوارزمية Chudnovsky):

سرعة الخوارزميات المختلفة لحساب pi إلى n من الأرقام الصحيحة موضحة أدناه بترتيب تنازلي من التعقيد المقارب. M (ن) هو مدى تعقيد خوارزمية الضرب المستخدمة.

الخوارزمية عام تعقيد الوقت أو السرعة
خوارزمية Chudnovsky 1988 O (n السجل ⁡ (n) 3) )> [38]
خوارزمية Gauss – Legendre 1975 O (M (n) السجل ⁡ (n)) [73]
الانقسام الثنائي لسلسلة arctan في صيغة Machin O (M (n) (log ⁡ n) 2) )> [73]
صيغة لايبنيز ل π 1300s التقارب الخطي. خمسة مليارات حد لعشرة منازل عشرية صحيحة

تحرير Pi Hex

كان Pi Hex عبارة عن مشروع لحساب ثلاثة أرقام ثنائية محددة لـ باستخدام شبكة موزعة من عدة مئات من أجهزة الكمبيوتر. في عام 2000 ، بعد عامين ، انتهى المشروع من حساب الخمسة تريليونات (5 * 10 12) ، والأربعين تريليون ، والرباعي المليون (10 15) بت. تبين أن الثلاثة منهم صفر.

على مر السنين ، تمت كتابة العديد من البرامج لحساب إلى العديد من الأرقام على أجهزة الكمبيوتر الشخصية.

تحرير الغرض العام

يمكن لمعظم أنظمة الجبر الحاسوبية حساب π وغيرها من الثوابت الرياضية الشائعة بأي دقة مطلوبة.

يتم أيضًا تضمين وظائف حساب π في العديد من المكتبات العامة لعمليات الحساب ذات الدقة العشوائية ، على سبيل المثال Class Library for Numbers و MPFR و SymPy.

تحرير الغرض الخاص

قد يكون للبرامج المصممة لحساب π أداء أفضل من البرامج الرياضية ذات الأغراض العامة. يقومون عادةً بتنفيذ نقاط الفحص ومبادلة القرص بشكل فعال لتسهيل العمليات الحسابية التي تستغرق وقتًا طويلاً وتكلفة الذاكرة.


كم عدد أرقام Pi التي يجب عليك حفظها لتكون مميزًا

اليوم هو Pi Day & [مدش] هو اليوم من كل عام ، 14 مارس ، الذي يلي الأرقام الثلاثة الأولى من pi (3.14). وهذا العام & rsquos Pi Day هو يوم خاص: نظرًا لأن & mdash في الولايات المتحدة و [مدش] يتم تمثيل التاريخ كـ 3/14/15 ، فلدينا أول خمسة أرقام من pi في التقويم.

هذا و rsquos الأخبار لبعض الناس. عندما يتعلق الأمر بعدد أرقام pi التي يعرفها الناس عن ظهر قلب ، فإن الغالبية تعرف فقط 3.14. وهو ما يرام! ما لم تكن & rsquore بناء جسر ، فإن هذا هو أكثر ما تحتاج إلى معرفته حقًا.

لقد طلبت من SurveyMonkey Audience إجراء استطلاع لمعرفة إلى أي مدى يمكن للأشخاص قراءة الأرقام اللانهائية من pi. من بين 941 مستجيباً ، حاول 836 تسمية الأرقام بعد الفاصلة العشرية. هذا هو المدى الذي وصلوا إليه:

مستوى الدقة النسبة المئوية للمجيبين
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

إذا تمكنت من الوصول إلى أول 3 بعد الفاصلة العشرية ، فستحصل على أعلى 5 بالمائة من حافظات pi. سألت الأشخاص الذين وصلوا إلى هذا الحد للاستمرار ، واستغل معظمهم بعد فترة وجيزة.

جاء أكبر انخفاض بعد & ldquo3.14 ، & rdquo حيث وصل المستجيبون الذين وصلوا إلى هذا الحد إلى & ldquo3.141 & rdquo حوالي 52 بالمائة فقط من الوقت.

ربما يستطيع موظفو ناسا الإفلات من معرفة أول ستة أرقام فقط بعد الفاصلة العشرية. أيضًا ، لدينا آلات حاسبة عندما نحتاج إلى عدد قليل من الأرقام الإضافية ، TI-89s عندما تكون هذه الآلات الحاسبة غير كافية و Wolfram Alpha عندما نقوم بتقليل هذه الآلات الحاسبة إلى فوضى شديدة الانصهار.

ربما بعد نهاية العالم المرتقبة للغاية ، سيكون الرجال في مصادم الهادرون الكبير سعداء بوجود هذا الرجل الذي حفظ عشرات الآلاف من أرقام pi ، ولكن في الوقت الحالي ، لديه هواية غريبة. إن معرفة pi هو عمل أدائي تمامًا ، مثل الأشخاص الذين يتطوعون بسهولة للحصول على درجة SAT أو نسبة إتمام المدرسة الثانوية.


كم عدد أرقام Pi التي عرفها المصريون القدامى؟ - تاريخ

Pi هو الاسم الذي يطلق على نسبة محيط الدائرة إلى القطر. هذا يعني أنه بالنسبة لأي دائرة ، يمكنك تقسيم المحيط (المسافة حول الدائرة) على القطر والحصول دائمًا على نفس الرقم تمامًا. بغض النظر عن حجم الدائرة أو صغرها ، يبقى Pi كما هو. غالبًا ما يتم كتابة Pi باستخدام الرمز ويتم نطقه & quotpie & quot ، تمامًا مثل الحلوى.

تاريخ موجز لـ Pi
عرفت الحضارات القديمة أن هناك نسبة ثابتة من المحيط إلى القطر تساوي تقريبًا ثلاثة. صقل الإغريق العملية ، ويُنسب إلى أرخميدس أول حساب نظري لـ Pi.

في عام 1761 ، أثبت لامبرت أن Pi كانت غير منطقية ، أي أنه لا يمكن كتابتها كنسبة من الأرقام الصحيحة.

في عام 1882 ، أثبت ليندمان أن Pi كان متعاليًا ، أي أن Pi ليس أصل أي معادلة جبرية ذات معاملات عقلانية. أثبت هذا الاكتشاف أنه لا يمكنك تقسيم دائرة ومثلها ، وهي مشكلة شغلت العديد من علماء الرياضيات حتى ذلك الوقت. (مزيد من المعلومات حول تربيع الدائرة.)

كم رقم هناك؟ هل انتهى؟
نظرًا لأنه من المعروف أن Pi رقم غير منطقي ، فهذا يعني أن الأرقام لا تنتهي أبدًا أو تتكرر بأي طريقة معروفة.لكن حساب أرقام Pi أثبت أنه سحر لعلماء الرياضيات عبر التاريخ. قضى البعض حياتهم في حساب أرقام Pi ، ولكن حتى أجهزة الكمبيوتر ، تم حساب أقل من 1000 رقم. في عام 1949 ، قام الكمبيوتر بحساب 2000 رقم وكان السباق قيد التشغيل. تم حساب الملايين من الأرقام ، مع الاحتفاظ بالسجل (اعتبارًا من سبتمبر 1999) بواسطة كمبيوتر عملاق في جامعة طوكيو بلغ 206.158.430.000 رقم. (أول 1000 رقم)

يمكن العثور على المزيد حول History of Pi في أرشيف Mac Tutor Math History.

تقريب بي
حسب أرخميدس أن Pi كان بين 3 10/71 و 3 1/7 (مكتوب أيضًا 223/71

مواقع الويب Pi
لا يزال Pi هو سحر الكثير من الناس حول العالم. إذا كنت مهتمًا بمعرفة المزيد ، فهناك العديد من مواقع الويب المخصصة للرقم Pi. هناك مواقع توفر الآلاف أو الملايين أو المليارات من الأرقام ونوادي pi وموسيقى pi والأشخاص الذين يحسبون الأرقام والأشخاص الذين يحفظون الأرقام وتجارب Pi والمزيد. تحقق من صفحة Yahoo هذه للحصول على قائمة كاملة.

تجربة Pi رائعة
واحدة من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لمعرفة المزيد عن Pi هي إجراء تجارب pi بنفسك. هنا واحد مشهور يسمى إبرة بوفون.

في تجربة Buffon Needle ، يمكنك إسقاط إبرة على ورقة مبطنة. إذا كنت تتعقب عدد المرات التي تهبط فيها الإبرة على خط ما ، فقد تبين أنها مرتبطة مباشرة بقيمة Pi.

التطبيق الصغير لمحاكاة الإبرة في بوفون (مايكل جيهوربين)
إبرة بوفون (جورج ريس ، مكتب تعليم الرياضيات والعلوم والتكنولوجيا بجامعة إلينوي شامبين-أوربانا)

أول 100 منزلة عشرية

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

أول 1000 منزلة عشرية
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


باي ، أي شخص؟ سر حفظ عشرات الآلاف من الأرقام

في كل عام ، يحتفل عشاق الرياضيات بيوم Pi في 14 مارس ، لأن التاريخ يشير إلى الأرقام الثلاثة الأولى (3.14) من pi ، أو π ، وهو الثابت الرياضي الذي يمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. هذا العام ، يعد الحدث أكثر خصوصية لأنه ، ولأول مرة منذ قرن ، سيمثل التاريخ أول خمسة أرقام من pi: 3.14.15.

Pi هو رقم غير منطقي ، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه في صورة كسر ، ولا ينتهي تمثيله العشري أبدًا ولا يتكرر أبدًا.

هناك العديد من الطرق للاحتفال بيوم Pi ، بما في ذلك استهلاك كميات كبيرة من فطيرة المتجانسة اللذيذة. لكن حفنة من الناس أخذوا إعجابهم أكثر ، من خلال تلاوة عشرات الآلاف من أرقام باي من الذاكرة. [أكبر تسعة أعداد موجودة في العالم]

في عام 1981 ، قام رجل هندي يُدعى راجان ماهاديفان بتلاوة 31811 رقمًا من بي بدقة من الذاكرة. في عام 1989 ، تلا الياباني هيدياكي تومويوري 40 ألف رقم. الرقم القياسي الحالي لموسوعة غينيس للأرقام القياسية هو الذي يحتفظ به الصيني لو تشاو ، الذي تلا 67890 رقمًا في عام 2005.

تشير الدراسات إلى أنه على الرغم من إنجازاتهم المثيرة للإعجاب ، فإن معظم هؤلاء الأشخاص لم يولدوا بذكريات غير عادية. لقد تعلموا ببساطة تقنيات لربط سلاسل من الأرقام بأماكن أو مشاهد خيالية في أذهانهم.

قال إريك ليج ، عالم النفس المعرفي بجامعة ألبرتا في ادمونتون ، كندا.

أدخل قصر العقل

غالبًا ما يستخدم خبراء حفظ الذاكرة استراتيجية تُعرف باسم طريقة الموقع ، وتسمى أيضًا تقنية "قصر الذاكرة" أو تقنية "قصر العقل" (مثل تلك التي استخدمتها شخصية بنديكت كومبرباتش في مسلسل "شيرلوك" على قناة بي بي سي التلفزيونية). تم تطبيق هذه الطريقة منذ زمن الإغريق والرومان القدماء ، وتتضمن هذه الطريقة استخدام التصور المكاني لتذكر المعلومات ، مثل الأرقام أو الوجوه أو قوائم الكلمات.

قال ليجي لـ Live Science: "إنها إحدى استراتيجيات الذاكرة الأكثر فعالية ، لكنها معقدة ، لتذكر مجموعات كبيرة من المعلومات".

وإليك كيفية عملها: تضع نفسك في بيئة مألوفة ، مثل المنزل ، وتتجول في تلك البيئة وتضع أجزاءً من المعلومات التي ترغب في تذكرها في أماكن مختلفة. على سبيل المثال ، يمكنك وضع الرقم "717" في الزاوية بجوار الباب الأمامي ، والرقم "919" في حوض المطبخ ، وهكذا ، قال ليجي.

قال ليجي: "من أجل استرجاع [الأرقام] بالترتيب ، كل ما عليك فعله ببساطة هو السير في نفس المسار الذي سلكته عندما كنت تخزن تلك المعلومات". "من خلال القيام بذلك ، يمكن للناس تذكر مجموعات ضخمة من المعلومات."

التنشئة وليس الطبيعة

درس أندرس إريكسون ، أستاذ علم النفس في جامعة ولاية فلوريدا في تالاهاسي ، لو وغيره ممن سجلوا أرقامًا قياسية لتلاوة أرقام الباي ، لمعرفة كيف حققوا مآثر الحفظ المذهلة هذه.

مثل معظم قراء باي الآخرين ، استخدم لو تقنيات التخيل لمساعدته على التذكر. قام بتعيين صور مثل كرسي أو ملك أو حصان إلى مجموعات مكونة من رقمين تتراوح من "00" إلى "99". قال إريكسون إنه قام بعد ذلك بتكوين قصة باستخدام هذه الصور ، والتي تم ربطها بموقع مادي.

قبل بضع سنوات ، أعطى إريكسون وزملاؤه لو ، بالإضافة إلى مجموعة من الأشخاص من نفس العمر والمستوى التعليمي ، اختبارًا يقيس "مدى الأرقام" و [مدش] بعبارة أخرى ، إلى أي مدى يمكنهم تذكر تسلسل عشوائي الأرقام المقدمة بمعدل رقم واحد في الثانية.

كان امتداد أرقام لو 8.83 ، مقارنة بمتوسط ​​9.27 لبقية المجموعة ، وفقًا للدراسة ، التي نُشرت في عام 2009 في مجلة علم النفس التجريبي. تشير النتائج إلى أنه على عكس بعض خبراء الذاكرة الآخرين الذين تمت دراستهم ، فإن مهارة لو في حفظ قوائم طويلة من الأرقام لم تكن نتيجة مهارة فطرية في تشفير المعلومات. قال إريكسون إنه بالأحرى نتيجة سنوات من الممارسة.

فهل هذا يعني أن أي شخص يمكن أن يتعلم تذكر عشرات الآلاف من أرقام باي؟

قال إريكسون: "كانت هناك الكثير من المظاهرات التي أظهرت أن الأشخاص العاديين ، إذا تلقوا التدريب ، يمكنهم تحسين أدائهم بشكل كبير" في حفظ القوائم الطويلة. قال: "لكن يجب أن أكون صادقًا". "عندما تلتزم بهذا الالتزام بحفظ pi ... فإننا نتحدث قبل سنوات من أن تتمكن بالفعل من الوصول إلى مستوى قياسي من الأداء."


نظام العد والعمليات الحسابية

المصريون ، مثل الرومان من بعدهم ، عبّروا عن الأرقام وفقًا لمخطط عشري ، باستخدام رموز منفصلة لـ 1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، وهكذا ظهر كل رمز في التعبير لعدد أكبر من القيمة التي يمثلها. في الرقم نفسه. على سبيل المثال، تم استخدام هذا الترميز المرهق إلى حد ما في الكتابة الهيروغليفية الموجودة في النقوش الحجرية والنصوص الرسمية الأخرى ، ولكن في وثائق البردي ، استخدم الكتبة نصًا مختصرًا أكثر ملاءمة ، يسمى الكتابة الهيراطيقية ، حيث ، على سبيل المثال ، تم كتابة 24 / >.

في مثل هذا النظام ، يرقى الجمع والطرح إلى حساب عدد الرموز من كل نوع الموجودة في التعبيرات العددية ثم إعادة الكتابة بالعدد الناتج من الرموز. النصوص المتبقية لا تكشف عن الإجراءات الخاصة التي استخدمها الكتبة للمساعدة في ذلك ، إن وجدت. لكن بالنسبة للضرب ، فقد أدخلوا طريقة المضاعفة المتتالية. على سبيل المثال ، لضرب 28 في 11 ، يقوم المرء ببناء جدول مضاعفات 28 مثل ما يلي:

يتم إلغاء تحديد الإدخالات العديدة في العمود الأول والتي مجموعها معًا 11 (أي 8 و 2 و 1). ثم يتم العثور على المنتج عن طريق جمع المضاعفات المقابلة لهذه المدخلات وبالتالي ، 224 + 56 + 28 = 308 ، المنتج المطلوب.

لتقسيم 308 على 28 ، طبق المصريون نفس الإجراء في الاتجاه المعاكس. باستخدام نفس الجدول كما في مسألة الضرب ، يمكن للمرء أن يرى أن 8 ينتج أكبر مضاعف لـ 28 أقل من 308 (لأن الإدخال عند 16 هو بالفعل 448) ، ويتم إلغاء تحديد الرقم 8. تتكرر العملية بعد ذلك ، هذه المرة بالنسبة للباقي (84) الذي تم الحصول عليه بطرح الإدخال عند 8 (224) من الرقم الأصلي (308). ومع ذلك ، يعد هذا بالفعل أصغر من الإدخال في 4 ، والذي يتم تجاهله بالتالي ، ولكنه أكبر من الإدخال في 2 (56) ، والذي يتم إلغاء تحديده بعد ذلك. تتكرر العملية مرة أخرى بالنسبة للباقي الذي تم الحصول عليه بطرح 56 من الباقي السابق البالغ 84 ، أو 28 ، والذي يحدث أيضًا أن يساوي الإدخال تمامًا عند 1 والذي يتم تحديده بعد ذلك. تمت إضافة الإدخالات التي تم التحقق منها ، مما ينتج عنه حاصل القسمة: 8 + 2 + 1 = 11. (في معظم الحالات ، بالطبع ، هناك باقٍ أقل من المقسوم عليه.)

بالنسبة للأعداد الأكبر ، يمكن تحسين هذا الإجراء من خلال النظر في مضاعفات أحد العوامل بمقدار 10 ، 20 ، ... أو حتى بترتيب أعلى من حيث الحجم (100 ، 1000 ، ...) ، حسب الضرورة (في التدوين العشري المصري ، هذه المضاعفات سهلة للعمل بها). وهكذا ، يمكن للمرء أن يجد حاصل ضرب 28 في 27 عن طريق تحديد مضاعفات 28 في 1 و 2 و 4 و 8 و 10 و 20. نظرًا لأن الإدخالات 1 و 2 و 4 و 20 تضيف ما يصل إلى 27 ، فقط لجمع المضاعفات المقابلة للعثور على الإجابة.

يتم إجراء الحسابات التي تتضمن كسورًا وفقًا لقصر أجزاء الوحدة (أي ، الكسور التي يتم كتابتها في التدوين الحديث مع 1 كبسط). للتعبير عن نتيجة قسمة 4 على 7 ، على سبيل المثال ، والتي في التدوين الحديث هي ببساطة 4/7 ، كتب الناسخ 1/2 + 1/14. إن الإجراء الخاص بإيجاد حواجز القسمة في هذا النموذج يوسع فقط الطريقة المعتادة لتقسيم الأعداد الصحيحة ، حيث يقوم المرء الآن بفحص إدخالات 2/3 و 1/3 و 1/6 وما إلى ذلك ، و 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، وما إلى ذلك ، حتى المضاعفات المقابلة لمجموع المقسوم عليه إلى المقسوم. (يمكن أن يلاحظ الكتبة 2/3 ، على الرغم من أنها ليست جزء وحدة.) في الممارسة العملية ، يمكن أن يصبح الإجراء معقدًا للغاية في بعض الأحيان (على سبيل المثال ، يتم إعطاء قيمة 2/29 في بردية Rhind كـ 1 / 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) ويمكن العمل عليها بطرق مختلفة (على سبيل المثال ، يمكن العثور على نفس 2/29 مثل 1/15 + 1/435 أو 1/16 + 1 / 232 + 1/464 وما إلى ذلك). تم تخصيص جزء كبير من نصوص البردى للجداول لتسهيل العثور على قيم الكسر من الوحدات.

هذه العمليات الأولية هي كل ما يحتاجه المرء لحل المسائل الحسابية في البرديات. على سبيل المثال ، "لتقسيم 6 أرغفة على 10 رجال" (Rhind ورق البردي ، المشكلة 3) ، يقسم المرء فقط للحصول على الإجابة 1/2 + 1/10. في مجموعة واحدة من المسائل ، يتم استخدام حيلة شيقة: "كمية (أحأ) والسابعة معًا تكلف 19 — ما هذا؟ " (بردية رايند ، مشكلة 24). هنا يفترض المرء أولاً أن تكون الكمية 7: منذ 1 1 /7 يصبح منه 8 ، وليس 19 ، يأخذ المرء 19/8 (أي 2 + 1/4 + 1/8) ، ومضاعفه في 7 (16 + 1/2 + 1/8) يصبح الإجابة المطلوبة. هذا النوع من الإجراءات (يُطلق عليه أحيانًا طريقة "الموقف الخاطئ" أو "الافتراض الخاطئ") مألوف في العديد من التقاليد الحسابية الأخرى (على سبيل المثال ، الصينية والهندوسية والإسلامية وأوروبا في عصر النهضة) ، على الرغم من أنه يبدو أنه ليس لها صلة مباشرة للمصريين.


10000 رقم من Pi مهيأة للبشر

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567


متعة حساب النقاط العائمة الستين

في الشهر الماضي ، كتبت عن الضجيج المحيط بورقة بحثية جديدة حول الكمبيوتر اللوحي Plimpton 322 الذي تمت دراسته جيدًا. مثلثات قائمة ، لكننا لا نعرف بالضبط كيف ولماذا تم إنشاء الجدول.

في رسالتي ، انتقدت الفيديو الدعائي الذي قدمه الباحثون لمرافقة إصدار الصحيفة. على وجه التحديد ، شعرت بالانزعاج من الملاحظات الغريبة التي أدلى بها أحد الباحثين حول المنفعة النسبية للقاعدة 60 ، أو الستيني ، مقابل الأساس 10 ، أو النظام العشري الذي نستخدمه اليوم.

للتوضيح ، تتمتع القاعدة 60 بميزة كبيرة على الأساس 10: 60 قابلة للقسمة على 3 ، و 10 isn & rsquot. من السهل كتابة الكسور 1/2 و 1/4 و 1/5 في الأساس 10: هم & rsquore 0.5 و 0.25 و 0.2 على التوالي. لكن 1/3 هي 0.3333 & hellip. تمثيلها العشري لا ينتهي & rsquot. هذا في الحقيقة ليس مشكلة كبيرة بالنسبة لنا لأننا نشعر بالراحة في تمثيل الأرقام إما على أنها كسور عشرية أو كسور. لكن نظام الأرقام البابلي لا يمثل الكسور من حيث البسط والمقام بالطريقة التي نقوم بها. لقد استخدموا فقط الشكل الستيني ، والذي سيكون مثلنا فقط باستخدام الكسور العشرية بدلاً من كتابة الأرقام ككسور. في الستيني ، 1/3 لها تمثيل سهل كـ. It & rsquos 20/60 ، والتي يمكن كتابتها كـ .20 في النظام الستيني. (لم يكن rsquot مكتوبًا بهذه الطريقة على وجه التحديد من قبل بلاد ما بين النهرين القدماء لأنه لم يكن لديهم ما يعادل الفاصلة العشرية. ونعود إلى ذلك لاحقًا.)

كلما زادت العوامل الأولية ، كان ذلك أفضل عندما يتعلق الأمر بتمثيل الأرقام بسهولة باستخدام نظام الأرقام الموضعية مثل الأساس 10 أو 60 ، ولكن هذه العوامل الإضافية لها تكلفة. في الأساس 10 ، علينا فقط أن نتعلم 10 أرقام. القاعدة 30 ، أصغر قاعدة قابلة للقسمة على 2 و 3 و 5 (60 لها عامل إضافي 2 الذي لا يحدث فرقًا كبيرًا في مدى سهولة تمثيل الأرقام) ، يتطلب 30 رقمًا مميزًا. إذا أردنا كتابة كسور مثل 1/7 باستخدام تمثيل مشابه ، فعلينا & rsquod القفز على طول الطريق حتى الأساس 210. يصبح العمل مع العديد من الأرقام مرهقًا بسرعة كبيرة.

الكسور التي تحتوي مقاماتها فقط على العوامل 2 و 5 لها تمثيلات عشرية محدودة. ستكون القاعدة 12 مريحة إلى حد ما أيضًا. يحتوي على عوامل أولية من 2 و 3 ، ومن السهل جدًا العد إلى 12 على أصابعك باستخدام مفاصل يد واحدة بدلاً من الأصابع الفردية. (كتب أحد طلابي في تاريخ الرياضيات منشورًا يجادل في نظام رقم أساس 12 أو اثني عشر). مع القاعدة 12 ، نفقد القدرة على تمثيل 1/5 أو 1/10 بسهولة. لكن 30 أو 60 ، أصغر القواعد التي تسمح للعوامل الأولية 2 و 3 و 5 ، كبيرة جدًا. انها & rsquos مقايضة. شخصيًا ، فإن فكرة الاضطرار إلى تتبع 30 أو 60 رقمًا مختلفًا ، حتى لو كانت تشرح نفسها بنفسها إلى حد ما ، كما كانت الأرقام البابلية ، هي فكرة كثيرة جدًا بالنسبة لي ، لذلك أنا & rsquom متمسكة بـ 10 أو 12. لكن المضي قدمًا واهتز ستيني إذا كان هذا هو الشيء الذي تفضله.

تتمتع Base 60 بالتأكيد بهذه الميزة الأساسية على القاعدة 10 ، لكنني انزعجت من الطريقة التي بالغ فيها مانسفيلد في تقدير هذه الميزة في الفيديو الترويجي الذي صنعوه لمرافقة الصحيفة. هنا & rsquos ما كتبته عنها الشهر الماضي:

ربما تكون فائدة الأنواع المختلفة من جداول المثلثات مسألة رأي ، لكن فيديو UNSW يحتوي أيضًا على بعض الأكاذيب الصريحة حول الدقة في الأساس 60 مقابل نظام الأساس 10 الذي نستخدمه الآن. حول علامة 1:10 ، يقول مانسفيلد ، & ldquo نحسب في الأساس 10 ، الذي يحتوي فقط على كسرين محددين: 1/2 ، وهو 0.5 ، و 1 / 5. & rdquo اعتراضي الأول هو أن أي كسر هو بالضبط. الرقم 1/3 هو بالضبط 1/3. يوضح مانسفيلد أن ما يعنيه بأن 1/3 ليس كسرًا دقيقًا هو أنه يحتوي على عدد لانهائي (0.333 & hellip) بدلاً من رقم عشري نهائي. لكن ماذا عن 1/4؟ هذا & rsquos 0.25 ، الذي ينتهي ، ومع ذلك يعتبره مانسفيلد كسرًا دقيقًا. وماذا عن 1/10 أو 2/5؟ يمكن كتابة هذه 0.1 و 0.4 ، والتي تبدو دقيقة جدًا.

بشكل لا يمكن الدفاع عنه ، عندما يثني على العديد من الكسور الدقيقة والمتوفرة في القاعدة 60 ، فإنه لا يطبق نفس المعايير. في الأساس 60 ، سيتم كتابة 1/8 7/60 + 30/3600 وهي نفس فكرة كتابة 0.25 ، أو 2/10 + 5/100 ، لـ 1/4 في الأساس 10. لماذا 1/8 دقيق في القاعدة 60 ولكن 1/4 ليست دقيقة في الأساس 10؟

لن أعيد نشر رسالتي هنا ، لكني أريد توضيح نقطة واحدة. يعتقد بعض الأشخاص الذين انتقدوا هذا النقد للفيديو أن الأرقام التي ذكرتها هي مجرد أرقام عشوائية تطفو في الأثير في الفيديو. هم & rsquore لا! نظرًا لأن مانسفيلد لم يشرح ما تعنيه الأرقام ، فقد تبدو عشوائية ، ولكن في الواقع ، فإن التعبير 1/8 = 7.30 يعني شيئًا ما. لقد جعلت طلابي يعملون باستخدام الحساب الأساسي 60 قليلاً عندما قمت بتدريس تاريخ الرياضيات ، لذلك تعرفت على الفور على الأزواج التي عرضها كـ & ldquoreciprocal pairs & rdquo في القاعدة 60. متعلم رياضيا في 1800 قبل الميلاد.

لقطة شاشة من باحثي الفيديو الترويجي لمرافقة ورقتهم حول الكمبيوتر اللوحي البابلي Plimpton 322. Credit: UNSW

كان نظام الأرقام البابلي نظامًا موضعيًا أو مكانيًا مثل نظامنا. في نظامنا العشري ، يمكن أن يعني الرقم 1 وحدة واحدة إذا كان & rsquos بمفرده ، وعشرة إذا كان & rsquos في خانة العشرات في رقم مثل 10 أو 12 ، ومائة إذا كان & rsquos في المكان التالي إلى اليسار ، وهكذا. في نظام القاعدة 60 الموضعي ، سيكون هناك خانة واحدة ، وخانة ستين ، وستة وثلاثين خانة ، وهكذا ، بدلاً من الآحاد والعشرات والمئات التي اعتدنا عليها. لكن بخلاف ذلك ، يعمل النظام بنفس الطريقة التي يعمل بها نظامنا. هذا على عكس ، على سبيل المثال ، الأرقام الرومانية ، حيث أعني واحدًا ، X تعني عشرة ، C تعني مائة ، وهكذا. لذا فإن النظام البابلي أسهل قليلاً بالنسبة لنا للعمل به من النظام الروماني.

لكن هناك منعطف: النظام البابلي لم يستخدم الصفر ، على الأقل في البداية. (لقد كتبت عن هذا الاختلاف عندما بدأت تدريس تاريخ الرياضيات في عام 2014.) نستخدم الصفر كعنصر نائب ، إما في منتصف الرقم ، كما في الرقم 101 ، أو في البداية (0.001) أو في النهاية (1،000) إلى تشير إلى حجم الرقم الذي نتحدث عنه. لم يفعل قدماء بلاد ما بين النهرين ذلك ، على الرغم من أنهم تركوا مساحة صغيرة للأرقام الفارغة في منتصف العدد حيث نكتب الصفر في 101. لقد افترضوا أن السياق سيجعل ترتيب الحجم واضحًا. في نظام الأعداد لدينا ، سيكون الأمر شبيهًا بكتابة 1 وبافتراض أنه سيكون من الواضح ما إذا كان ذلك يعني واحدًا ، أو عشرة ، أو عشرًا ، أو مائة ، أو رقمًا آخر سنكتبه باستخدام الرقمين واحد وصفر فقط.

هذا يبدو محيرًا ، وقد أدى بالفعل إلى بعض الأخطاء ، لكننا أيضًا نرتكب أخطاء سخيفة بناءً على كيفية كتابة الأرقام: الأرقام 6 و 0 ، أو 1 و 7 ، تبدو متشابهة في خط يد بعض الأشخاص ، على سبيل المثال. حتى أننا في بعض الأحيان نحذف ترتيبًا من حيث الحجم إذا تم فهمه في السياق. يتحدث الناس عن تناول شيء يحتوي على 100 سعر حراري ، وهو ما يعني حقًا 100 سعر حراري. تقول الإعلانات العقارية أحيانًا أشياء مثل & ldquoHomes from the $ 100's & rdquo (في ضواحي تكساس عندما كنت طفلاً) أو & ldquoUnits من $ 500's & rdquo (في المدن الكبرى اليوم). إذا ظهرت ببضع مئات من الدولارات معتقدة أنك & rsquoll تعود إلى مالك المنزل ، فستكون آسفًا جدًا لأنك لم & rsquot تفهم الضمني & ldquothousand & rdquo في نهاية تلك الأرقام.

اليوم ، تمثل أجهزة الكمبيوتر بشكل عام الأرقام وتعالجها باستخدام حساب الفاصلة العائمة ، والذي قد يذكرك بالتدوين العلمي. تشير مجموعة واحدة من الأرقام إلى الأرقام الموجودة في الرقم وتشير المجموعة الأخرى إلى ترتيبها من حيث الحجم. بهذه الطريقة ، يتطلب الأمر نفس القدر من الذاكرة لتخزين الرقم 12 مثل الرقم 12.000.000.على الرغم من أن النظام البابلي لم يشر إلى ترتيب الحجم بوضوح مثل أجهزة الكمبيوتر الحديثة ، إلا أن أوجه التشابه كافية لبعض الناس للإشارة إليها على أنها نقطة عائمة ستينية.

حقيقة أن 1 يمكن أن تشير إلى قوة واحدة ، أو ستين ، أو ستمائة ، أو قوة أخرى من 60 في نظام الأرقام البابلي ، أدت إلى طريقة مختلفة في التفكير حول القسمة. إذا كان عليهم القسمة على رقم ، فسيتم ضربهم في & ldquoreciprocal & rdquo من هذا الرقم. سيكون رقمان مقلوبان إذا كان حاصل ضربهما هو الرقم 1. ولكن هذا قد يعني أي شيء مكتوب كمكافئ للرقم 1 في الأساس 60: 1 ، 60 ، 3600 ، 1/60 ، وهكذا. لذا فإن 4 و 15 يشكلان زوجًا مقلوبًا في الأساس 60 لأن 4 و 15 هو 60. وكذلك الحال بالنسبة للعدد 3 و 20 و 5 و 12 والعديد من التركيبات الأخرى. (قد تبدو هذه الأزواج مألوفة: هناك 15 دقيقة في ربع ساعة ، و 20 دقيقة في الثلث ، وما إلى ذلك. أحب أن أفكر في هذا على أنه تشابه جنسي بين الجنسين.) تضمنت الجداول التبادلية أزواجًا متبادلة أكثر تعقيدًا أيضًا: 8 و 7،30 9 و 6،40 1،21 و 44،26،40. (اليوم ، عادةً ما نضع الفواصل بين الأرقام الستينية عندما نكتبها مع الكسور العشرية الهندوسية-العربية لتجنب الغموض. 7،30 تعني أن مكان واحد به 7 والآخر به 30. ترتيب الحجم لا يزال يعتمد على السياق. )

في البداية ، شعرت عبارات مثل 1/4 = 15 و 1/8 = 7،30 بأنها غير طبيعية بالنسبة لي ولطلابي ، لكنني أعتقد أن ترجمتها مرة أخرى إلى القاعدة 10 يمكن أن تساعد قليلاً. عندما كنت طفلاً ، اكتشفت حقيقة مذهلة: بدلاً من الضرب في 5 ، وهو ما كان صعبًا بالنسبة لي ، يمكنني القسمة على 2 ، وهو ما كان سهلاً بالنسبة لي ، والضرب في 10. لم أفكر في الأمر بهذه الطريقة تمامًا. فكرت في الأمر على أنه & ldquodivide على 2 ثم جعل الرقم بالحجم الصحيح. & rdquo اكتشفت لاحقًا أنه يمكن للمرء عكس العملية: يمكنك القسمة على 5 بضربها في 2 وجعل الرقم بالحجم الصحيح (عن طريق القسمة على 10 ، والتي يمكن أن تبدو كإزالة صفر أو تحريك فاصلة عشرية إلى اليسار)! وجدت أيضًا أنه يمكنني الضرب في 50 باستخدام نفس الحيلة وإضافة 0 أخرى.

لقد كنت مسرورًا جدًا بهذه الحيل الصغيرة ، لكنني لم أخبر معلمي مطلقًا لأنني كنت متأكدًا من أنني كنت أغش. إذا تم الإمساك به ، فسوف أتعلم كيفية الضرب أو القسمة على 5. الرعب! أعرف الآن لماذا نجحت حيلتي وأنهم لم يغشوا. كنت أستخدم حقيقة أن 5 و 2 هما مقلوبان عشريان. في الواقع ، من الجيد أن تكون قادرًا على تقسيم الأرقام بطرق ملائمة لتسهيل الحساب. عندما واجهت نظام القاعدة 60 البابلي لأول مرة ، تعرفت على خدعة 5-2 كإصدار أساسي 10 من الأزواج الستينية و ldquoreciprocal. يمكن أن تساعد الطرق المختلفة لتمثيلهم الطلاب (وغير الطلاب) على تطوير إحساسنا بالأرقام والاستمتاع.

لمعرفة المزيد عن نظام الأرقام البابلي:
مقدمة للأرقام البابلية من موقع MacTutor لتاريخ الرياضيات
صفحة رياضيات بلاد ما بين النهرين لدونكان ج.

الآراء المعبر عنها هي آراء المؤلف (المؤلفين) وليست بالضرورة آراء Scientific American.


دفن فرعون

احتل التحنيط والدفن مكانة مهمة في الحياة المصرية. آمن المصريون الحفاظ على الجسم مضمون بقاء الروح في الآخرة. بدأ الفرعون في بناء قبره بعد فترة وجيزة من توليه العرش. تغيرت مواقع وأنواع المقابر المبنية بمرور الوقت وعندما انتقلت عاصمة الدولة. احتوت المقابر على زخارف رحلة الفرعون في الآخرة ونصوص من كتاب الموتى.

ونسخ ماري هارش - تابوت مزخرف

أقدم المقابر الفرعونية هي مقابر المصطبة مصنوعة من الطوب اللبن. وجد العلماء هذه المقابر في بعض أقدم المقابر بالقرب من العواصم القديمة (انظر قائمة العاصمة أدناه). كانت المصاطب ، مثل جميع المقابر المصرية القديمة ، على الضفة الغربية للنيل ، والتي كانت مملكة الموتى.

الاهرام كانت توضيحات لتصميم المصطبة المصنوعة من الحجر. الأول كان الهرم المدرج لزوسر الذي صممه إمحوتب. قام المهندسون المعماريون بتخطيط الأهرامات وتضمين المعبد الجنائزي والمقابر الملكية الأخرى في المجمع. يعد هرم خوفو في الجيزة أعظم مثال على هذا النوع من المقابر.

ونسخ DragonWoman - مجمع الهرم بالجيزة

رأى الفراعنة في وقت لاحق أن لصوص القبور اقتحموا المقابر السابقة لذلك قاموا بإخفاء السر مقابر منحوتة في الصخور. المنطقة التي بنوا فيها هذه المقابر تسمى الآن وادي الملوك. احتوت بعض المقابر على عدة غرف وأكثر من حاكم.

استقبل الفراعنة مدافن متقنة تحتوي على مجموعة متنوعة من السلع. في البداية ، دفن الكهنة الفراعنة بأشياء مثل الملابس والأثاث والألعاب والمجوهرات. خلال الأسرة التاسعة عشرة ، بدأ الكهنة بدفنهم بأشياء مصنوعة من أجل الحياة الآخرة. ومن الأمثلة على ذلك تماثيل الشبتي الطينية المصنوعة لخدمة الفرعون. وضع الكهنة الطعام والزيت والأطباق في المقابر لتغذية الملك في الآخرة.


شاهد الفيديو: الحساب عند قدماء المصرين The name of numbers (شهر اكتوبر 2021).